Список задач по темам

На этой странице собраны задачи из вступительных работ в 5 класс ФМЛ 239. Набор производится с 2009 года и каждый раз дают задачи примерно на одни и те же темы.

Теория множеств

1. Даны множества A={1, 3, 8, 15}, B={8, 15, 3, 2}. а) Найти их объединение. б) Найти их пересечение.
2. Из 18 школьников 12 изучают английский язык, а 14 — немецкий язык. Сколько школьников изучают два языка, если известно, что каждый изучает хотя бы один язык?
3. Каждый из 32 школьников занимается спортом. Причём 20 занимаются футболом, а 18 — волейболом. Некоторые из школьников занимаются обоими видами спорта. Сколько школьников занимаются футболом, сколько волейболом, а сколько — и тем, и другим?
4. В классе 29 человек. 15 из них занимаются в музыкальном кружке, 21 — в математическом. Сколько человек посещают оба кружка, если известно, что только Вовочка не ходит ни в один из двух кружков?
5. Восьмого марта в кино пришло 100 ребят. На приключенческий фильм было продано 87 билетов, а на комедию — 63. Сколько ребят посмотрели и тот фильм, и другой? Каждый посмотрел по меньшей мере один из фильмов.
6. Каждая семья из нашего дома выписывает газету или журнал, или и то и другое. 75 семей выписывают газеты, 27 семей – журналы. Лишь 13 семей — и журналы, и газеты. Сколько семей в доме?
7. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?
8. В классе 30 учащихся. Из них 18 человек занимаются в секции легкой атлетики, 10 – плаванием, 3 – и тем, и другим. Сколько человек не занимается ничем?
9. В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 %, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?
10. В 4 классе 35 учеников. В течение учебного дня 20 человек питаются бутербродами, 11 человек посещают кафе, 10 человек голодают. Сколько человек съедает бутерброды, сидя в кафе?
11. Сколько чисел от 159 до 241 содержат в своей записи хотя бы одну тройку?
12. Сколько трехзначных чисел содержат в своей записи хотя бы одну семерку?
13. В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?
14. Из 100 студентов университета английский язык знают 28 студентов, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?
15. Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, но делятся на 11?

Количество чисел

1. Учебный год у Незнайки - 239 учебных дней. Но не сразу этот неряха сообразил приобрести форменный галстук. И носил его только с 39-го дня до 239-го. Сколько дней Незнайка щеголял в форменном галстуке?
2. Сколько чисел от 1 до 239 делятся на 8?
3. Сколько чисел от 1 до 900 не делятся на 30?
4. Сколько чисел, больших 59 и меньших 1001, делятся на 7?
5. Сколько чисел, больших 59 и меньших 1002, делятся на 7?
6. Сколько чисел больших 777 и меньших 1111 делятся на 7?
7. Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100, которые: а) делятся и на 2, и на 3; б) делятся на 2, но не на 3; в) делятся на 3, но не на 2; г) делятся на 3 или на 2; д) не делятся ни на 2, ни на 3?
8. Сколько существует чисел от 115 до 265, которые: а) делятся и на 3, и на 5; б) делятся на 5, но не на 3; в) делятся на 3, но не на 5; г) делятся на 3 или на 5; д) не делятся ни на 3, ни на 5?
9. Среди первых а) 100, б) 1000 чисел вычернули все точные квадраты и точные кубы. Сколько чисел осталось?
10. Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел. Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?
11. Сколько существует целых чисел от 1 до 1 000 000, которые не являются ни полным квадратом, ни полным кубом?

Комбинаторика

1. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Маршака и Барто, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Маршак и Барто стояли рядом?
2. В шахматном турнире участвуют 14 человек. Сколько партий будет сыграно в турнире, если каждый участник сыграет со всеми остальными участниками по одному разу?
3. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?
4. Какое самое маленькое четное число можно составить из цифр 2, 4, 8 и 9, если каждую цифру надо использовать точно один раз?
5. Сколько способов переставить буквы в слове: а) ЕВРО; б) ДОЛЛАР; в) ИМПОРТОЗАМЕЩЕНИЕ
6. Сколько есть способов вычеркнуть несколько цифр из числа 56115664783047830888 так, чтобы осталось число 478?
7. Сколько существует стозначных чисел, сумма цифр которых равна 16, у которых в разряде десятков стоит 2, в разряде сотен — 3, а в разряде миллиардов — 9?
8. Сколько чисел можно хранить в 4 байтах?
9. Из числа 13579135791357913579 вычеркните 10 цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.

Геометрия

1. Из трех квадратов, каждый периметра 18дм, составили прямоугольник. Найдите периметр прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах.
2. Ширина прямоугольника 12см, и она на 9см больше длины. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.
3. Какую длину имеет прямоугольник, ширина которого 20 см, а площадь совпадает с площадью квадрата периметром 40см?
4. Периметр прямоугольника равен 30 см, а одна из его сторон равна 10 см. Чему равна другая его сторона?
5. Найдите периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина 12 см, и она меньше длины на 4 см.
6. Из двух одинаковых квадратов сложили прямоугольник. Чему равен периметр прямоугольника, если периметр одного квадрата 16 дм?
7. Стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см. Найдите сторону квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.
8. Площадь прямоугольника равна 30 кв. см, а одна из его сторон равна 10 см. Чему равен периметр этого прямоугольника?
9. Квадрат сложен из четырех одинаковых квадратов периметром 14 м каждый. Чему равен периметр большого квадрата?
10. Ширина прямоугольника 11 метров, а длина больше ширины на 13 дм. Найдите периметр прямоугольника.
11. Придумайте такой прямоугольник, у которого площадь равна 5 м2, а периметр равен 21 м. В ответ запишите длину большей стороны.
12. Придумайте такой прямоугольник, у которого площадь равна 7 м2, а периметр равен 29 м. В ответ запишите длину большей стороны.
13. Ширина прямоугольника 14 метров, а длина больше ширины на 3 см. Найдите периметр прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.
14. Длина прямоугольника 4см, и она на 12см меньше ширины. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.
15. Известно, что в одном футе 12 дюймов. Сколько квадратных дюймов в трех квадратных футах?

Последняя цифра

1. На какую цифру оканчивается сумма 9*19*29*...*20169+1?
2. Четно или нечетно число 101+102+...+199+200?
3. Посчитать 101+102+...+199+200
4. Насколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел первой сотни?
5. Четно или нечетно число 1^3+2^3+...+100^3?
6. Сколько нулей в числе 10!? А в 100!?
7. Какой цифрой оканчивается сумма 239^2009+5? Ответ обоснуйте.
8. Найдите последнюю цифру 111^1000, 99^1000, 2^1000
9. Докажите, что 100! < 100^100.

Счет

1. Вычислите: 47 633 : 19 + (70 + 30 ∙ 411) : 50 – 416.
2. Вычислите: 215 ∙ 407 + 92 ∙ 193 – 407 ∙ 123.
3. Вычислите 143·239−239−39·350+239·207.
4. Вычислите 239·135+112·234−366·127+239·231.
5. Вычислите рациональным способом: 385·403-86·403+299·597
6. Выполните действия: (16386-396):78+402·306
7. Запишите и решите пример: «Найдите произведение разности чисел 32 и 29 и суммы чисел 17 и 24».
8. В числе 3 728 106 зачеркните 3 цифры так, чтобы оставшиеся цифры (в той же последовательности) образовывали: а) возможно большее четырехзначное число; б) возможно меньшее четырехзначное число. В ответ запишите оба полученных числа.
9. Костя вычислил 1239 · 478, а Женя вычислила 2478 · 238. У кого из них результат получился больше?
10. Ваня вычислил 239 · 600 − 128 · 489 − 600 · 111, а Таня вычислила 129 · 112. У кого из них результат получился больше?
11. Что больше 36155457 : 351 или 45338764 : 452?
12. Двадцать миллионов две тысячи двести девятнадцать разделите на 73. Ответ запишите цифрами.
13. Будем называть число почётным если в его записи не более трёх чётных цифр (например, в числе 2239 две четных цифры). Сколько почётных чисел в данном ряду: 2239, 100, 31337779, 324577711189, 31415926, 300201, 1000, 2390, 2468, 12357866, 111?
14. Турист вышел из дома в 9-15 и, пройдя 27 километров за 11 часов, обнаружил, что забыл выключить утюг. Он бросил всё и побежал обратно домой в 5 раз быстрее, чем шел туда. Во сколько он прибежит домой?
15. В пачке 500 листов бумаги. За неделю в школе расходуется 1300 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в школу на 7 недель?
16. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек.
Какое наименьшее количество шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и членов команды?</li>
17. Скорость стрекозы 15 м/с, а скорость шмеля 60 км/ч. Кто из них летит быстрее?
18. Бревно нужно распилить на 6 частей. За сколько времени это можно сделать, если один распил занимает 1 мин 30 сек?
19. На прямой отмечено 200 точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Чему равно расстояние между крайними точками?
20. Будем называть число утренним если в его записи есть хотя бы одна четная цифра. Перед вами ряд чисел: 1, 791, 1235, 3124, 6876, 9753, 10005, 99513, 217860, 77759, 1000000. а) Сколько среди них утренних чисел? б) Какова сумма утренних чисел в этом ряду?

Пропорции

1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3,3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?
2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?
3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?
4. После того, как было вспахано 82% всего осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
5. 16 солдат могут открыть окоп за 21 ч. Сколько понадобится солдат, чтобы выполнить эту работу за 12 ч?
6. За 5 кг товара заплатили 325 руб. Вычисли стоимость 11 кг этого товара.
7. Сколько килограммов соли содержится в 40 кг 3-процентного раствора?
8. В саду растет 64 вишневых дерева, что составляет 16% всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?
9. В книге 130 страниц. Саша прочитал 104 страницы. Сколько процентов книги прочитал Саша?
10. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна.
11. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?
12. Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
13. Трехлитровая банка наполняется водой из крана за семь минут. За какое время наполнится стакан, в котором 250 миллилитров?

Проценты

1. В библиотеке 7500 книг. Из них 84% - на русском языке. Среди книг на иностранном языке 35 – на английском. Сколько процентов всех книг, имеющихся в библиотеке, составляют книги на английском языке?
2. В коллекции 800 марок. 65% всех марок выпущены в России, среди остальных – 15% составляют марки Африки. Какой процент составляют африканские марки во всей коллекции?
3. Гриша прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал 35% всей книги, во второй день 5/8 остатка, а за третий день оставшиеся 19,5 страниц. Сколько всего страниц было в книге?
4. Туристы в походе прошли в первый день 40% всего маршрута, во второй день 5/8 оставшегося пути, а в третий день оставшиеся 13,5 км. Найдите длину всего маршрута.
5. Стороны прямоугольника 20см и 15 см. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если большую сторону увеличить на 20%, а меньшую уменьшить на 20%? Уменьшится при этом площадь или увеличится?

Уравнения

1. Найдите неизвестное значение x из равенства 23000 + 12 × (2016 − 1963 : x) = 45380.
2. Найдите неизвестное значение x из равенства 898 + (2015 − 2576 : x) × 13 = 25000.
3. Решите уравнение: 249 - (14 + (5 ∙ x – 28) ∙ 3) : 2 = 239.
4. На дне рождения каждый мальчик съел 4 конфеты, 4 котлеты и 4 козинака, а каждая девочка съела 10 конфет, 3 котлеты и 24 козинака. Всего было съедено 714 конфет и 371 котлета. Сколько было съедено козинаков?

Даты и время

1. Петя встал утром в 8 ч. Коля на 11 мин позже него, Сережа на 6 мин раньше Коли, а Саша встал на 9 мин раньше Сережи. Расположите имена мальчиков по порядку так, чтобы на первом месте было имя того из них, который встал раньше всех.
2. Сейчас полдень 22 мая 2016 года. Укажите какой будет через 280 часов: месяц, число, день.
3. Сегодня 17 мая 2015 года. Мы считаем, что завтра — это через одни сутки, а послезавтра — через двое. Укажите, какой будет через 1060 суток: мясяц, день, число.
4. Вася 26 февраля 2012 года в 21-55 начал готовиться к поступлению в ФМЛ No 239 и закончил 1 марта того же года в 8-07. Сколько времени Вася готовился? Ответ дайте в часах и минутах.
5. Известно, что в 1944 году 13 марта было понедельником. Каких дней недели в феврале 1944 года было больше всего?
6. Поезд из Москвы выходит в 00-35 и приходит в Талдан в 18-15 местного времени. Обратный поезд идет столько же времени и выходит из Талдана в 8-23 местного времени, а приходит в Москву в 14-03.
7. Какова разница во времени между Москвой и Талданом?
В течение учебного года каждый день (включая выходные и праздники), с 1 сентября по 30 апреля Вася съедает ровно один йогурт. Сколько йогуртов он съел за 4 года обучения в начальной школе, поступив в школу в 2009 году?

Текстовые задачи

1. В трех ящиках лежали 1001, 2999 и 239 гвоздиков. Мальчик Вася стал перекладывать гвоздики из ящика в ящик, при этом ничего не теряя. Когда Вася закончил, его мама выяснила, что теперь в первом ящике 4 гвоздика, а во втором 1007 гвоздиков. Сколько гвоздиков в третьем ящике?
2. Во время туристского слета на питание 100 туристов израсходовали 32 кг мяса, что оказалось в 8 раз больше, чем масла, и в 2 раза меньше, чем хлеба. Сколько граммов каждого продукта в отдель­ности пришлось на питание одного туриста?
3. В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 11 и вошло 6, а на второй вышло 7 и вошло 15 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 40?
4. На складе лежат 30000 блоков массой по 33 кг каждый, и 3456 кирпичей по 2 кг каждый. Какое наименьшее количество машин грузоподъемностью одна тонна надо чтобы увезти это со склада?
5. Пешеход прошел 17 километров за 3 часа. За какое время проедет этот же путь велосипедист, скорость которого в 5 раз больше скорости пешехода?
6. В лицее No239 два здания. Каждый день в лицее расходуется 260 листов бумаги, причем в первом здании на 6 листов больше, чем во втором. Сколько пачек бумаги надо закупить на 12 дней, если переносить открытые пачки и листы по улице нельзя, а в каждой пачке 500 листов бумаги?
7. В течение учебного года каждый день (включая выходные и праздники), с 1 сентября по 30 апреля Вася съедает ровно один йогурт. Сколько йогуртов он съел за 4 года обучения в начальной школе, поступив в школу в 2009 году?
8. На столе лежат фрукты. Известно, что яблоко и апельсин вместе весят 167 граммов, апельсин и груша весят вместе 176 граммов, мандарин и апельсин весят вместе 200 граммов, а груша и яблоко весят вместе 159 граммов. Сколько весят вместе взятые мандарин, апельсин и груша?
9. Количество воды в бочке каждую минуту удваивается. Бочку можно заполнить за 10 минут. За сколько минут можно заполнить половину бочки?
10. У Анфисы и Акулины денег поровну. Сколько денег должна отдать Акулина Анфисе, чтобы у неё стало на 10 рублей меньше, чем у Анфисы?
11. Одновременно из села в город выехали два автомобиля. Скорость первого 40км/час, а второго — в 2 раза больше. Каким будет расстояние между ними через 3 часа?
12. Сколько дедушке лет, столько месяцев внучке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке?
13. На озере расцвела волшебная лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и через 20 дней всё озеро было покрыто цветами. Через сколько дней была покрыта цветами половина озера?
14. У Карлсона и Малыша денег поровну. Сколько денег должен Малыш отдать Карлсону, чтобы у Карлсона стало на 100 евро больше, чем у Малыша?
15. Бассейн наполняется двумя трубами. Первая может наполнить бассейн за 6 часов, а вторая – за 4 часа. За какое время наполнится бассейн, если будут открыты обе трубы одновременно?
16. Одна машинистка может перепечатать рукопись за 12 часов, а вторая – за 8 часов. За какое время они перепечатают рукопись при совместной работе?

Задачи на скорость

1. Скорый поезд догонит товарный через 5 часов. Найдите расстояние между ними, если скорость товарного равна 72 км/час, а скорого-90км/час.
2. Океанский лайнер отправился в рейс. Когда он отошел от берега на 180 км, за ним вылетел самолет с экстренной почтой. Скорость самолета в 10 раз больше скорости лайнера. На каком расстоянии от берега самолет догонит лайнер?
3. Собака бежит за лисой. Собака пробегает 200 метров в минуту, а лиса – 160 метров в минуту. Через сколько минут собака догонит лису, если сейчас между ними 200 метров?
4. Ваня вышел из дома на 1 час 30 минут раньше Пети. Через какое время Петя догонит Ваню, если скорость Вани 4 км/ч, а скорость Пети 6 км/ч?
5. Два бобра одновременно с двух концов начали грызть осиновый ствол. Один бобер грыз со скоростью 55 см/ч, а другой - со скоростью 65 см/ч. Определите длину ствола, если за 2ч 30 мин он был изгрызен полностью.

Инвариант

1. Существуют ли 3 натуральных числа, попарные суммы которых равны а) 6, 7, 8; б) 7, 8, 9?
2. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
3. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
4. В Васином классе 15 мальчиков. Некоторые из них поссорились друг с другом. Могло ли быть так, что каждый поссорился ровно с одним из остальных?
5. Вырезали из шахматной доски а) ЛВ, б) ЛВ и ПВ, в) ЛВ и ПН угловые клетки. Можно ли порезать на доминошки?
6. Лягушонок прыгоает на 1 см вправо или влево. Может ли он через 25 прыжков оказаться в исходном месте?
7. Лягушата сидят на доске 9x9. В какой-то момент каждый прыгает на соседнюю клетку. Докажите, что на какую-то клетку прыгнет два лягушонка.
8. Вася приобрел несколько бытылочек лимонада по 14.77, несколько шоколадок по 1.40 и несколько конфет по 0.63. Ему сказали, что он должен заплатить 100 руб. Докажите, что подсчет произведен неверно.

Принцип Дирихле

1. В школе учится 700 детей. Докажите, что есть трое учеников, которые отмечают день рождения в один день.
2. Вася был в школе 4 раза за неделю и успел получить 17 двоек. Докажите, что в один из дней он получил не меньше 5 двоек.

От противного

1. На занятии в кружке каждый ученик посчитал, что сколько у него знакомых в кружке. Докажите, что у каких-то двух учеников эти числа совпали.

НОД и НОК

1. Петя ходит в бассейн один раз в 2 дня, Коля – один раз в 4 дня, а Вова – один раз в 5 дней. Они встретились в бассейне во вторник. В какой день недели они встретятся вновь?